Question

設(shè)

a

=（1，

3

），

b

=（cos2x，sin2x），f（x）=2

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及其對(duì)應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=4sin（2x+

π

6

），由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最大值、最小值及其對(duì)應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）f（x）=2（cos2x+

3

sin2x）=4（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）=4sin（2x+

π

6

）…（3分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）…（5分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，…（6分）
∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為4…（8分）
當(dāng)x=

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為-2…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．