Question

12．已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）（理）求SC與平面SAB所成角的大小
（文）求異面直線SC與AD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求出S_梯形ABCD，由此能求出四棱錐S-ABCD的體積．
（2）（理）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能過河卒子同SC與平面SAB所成角的大�。�
（2）（文）求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{SC}$，利用向量法能求出異面直線SC與AD所成角的大�。�

解答 解：（1）∵四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，
AD∥BC，SA=AB=BC=2，AD=1，SA⊥底面ABCD，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}×（1+2）×2$=3，
∴四棱錐S-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{梯形ABCD}×SA$=$\frac{1}{3}×3×2=2$．
（2）（理）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，
則S（0，0，2），A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），
$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
設SC與平面SAB所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{SC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2}{\sqrt{12}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴SC與平面SAB所成角的大小為$arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）（文）D（0，1，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{SC}$=（2，2，-2），
設異面直線SC與AD所成角的大小為α，
則cosα=|cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{SC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{SC}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{SC}|}$|=|$\frac{2}{\sqrt{12}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴異面直線SC與AD所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查四棱錐的體積的求法，考查線面角和異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．