【題目】如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=AC,A1B⊥AC1,設(shè)O為AC1與A1C的交點(diǎn),點(diǎn)P為BC的中點(diǎn).求證:
(1)OP∥平面ABB1A1;
(2)平面ACC1⊥平面OCP.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)平面ACC1A1是平行四邊形,則O為A1C的中點(diǎn),又P為BC的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線得到OP∥A1B,再利用線面平行的判定定理證明.
(2)根據(jù)AA1=AC,得到平面ACC1A1是菱形,從而AC1⊥OC,再由A1B⊥AC1,OP∥A1B,得到AC1⊥OP,由線面垂直的判定定理得到AC1⊥平面OCP,然后用面面垂直的判定定理證明.
(1)∵在三棱柱中,平面ACC1A1是平行四邊形,
∴O為A1C的中點(diǎn),又∵P為BC的中點(diǎn),
∴OP∥A1B,
∵A1B平面ABB1A1,OP平面ABB1A1,
∴OP∥平面ABB1A1,
(2)∵平面ACC1A1是平行四邊形,且AA1=AC,
∴平面ACC1A1是菱形,
∴AC1⊥A1C,即AC1⊥OC,
∵A1B⊥AC1,且OP∥A1B,
∴AC1⊥OP,又AC1⊥OC,OPOC=O,
∴AC1⊥平面OCP,
∵AC1平面ACC1,
∴平面ACC1⊥平面OCP.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,多面體中,四邊形為矩形,二面角為,,,,,.
(1)求證:平面;
(2)為線段上的點(diǎn),當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)().
(1)討論的單調(diào)性;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
(3)證明:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和的極值;
(2)對(duì)于任意的,,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,已知,頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影為的外接圓圓心.
(1)證明:平面平面ABC;
(2)若點(diǎn)M在棱PA上,,且二面角P-BC-M的余弦值為,試求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某高校綜合評(píng)價(jià)有兩步:第一步是材料初審,若材料初審不合格,則不能進(jìn)入第二步面試;若材料初審合格,則進(jìn)入第二步面試.只有面試合格者,才能獲得該高校綜合評(píng)價(jià)的錄取資格,現(xiàn)有A,B,C三名學(xué)生報(bào)名參加該高校的綜合評(píng)價(jià),假設(shè)A,B,C三位學(xué)生材料初審合格的概率分別是,,;面試合格的概率分別是,,.
(1)求A,B兩位考生有且只有一位考生獲得錄取資格的概率;
(2)記隨機(jī)變量X為A,B,C三位學(xué)生獲得該高校綜合評(píng)價(jià)錄取資格的人數(shù),求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某印刷廠為了研究單冊(cè)書籍的成本(單位:元)與印刷冊(cè)數(shù)(單位:千冊(cè))之間的關(guān)系,在印制某種書籍時(shí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:
印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè)) | |||||
單冊(cè)成本(元) |
根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲:,方程乙:.
(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù).
①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到);
印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè)) | ||||||
單冊(cè)成本(元) | ||||||
模型甲 | 估計(jì)值 | |||||
殘差 | ||||||
模型乙 | 估計(jì)值 | |||||
殘差 |
②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過(guò)比較,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.
(2)該書上市之后,受到廣大讀者熱烈歡迎,不久便全部售罄,于是印刷廠決定進(jìn)行二次印刷,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,新需求量為千冊(cè),若印刷廠以每?jī)?cè)元的價(jià)格將書籍出售給訂貨商,求印刷廠二次印刷千冊(cè)獲得的利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算印刷單冊(cè)書的成本).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)春節(jié)期間推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng),活動(dòng)規(guī)則如下:消費(fèi)額每滿300元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次,并獲得相應(yīng)金額的返券,假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在區(qū)域Ⅰ返券60元;停在區(qū)域Ⅱ返券30元;停在區(qū)域Ⅲ不返券.例如:消費(fèi)600元,可抽獎(jiǎng)2次,所獲得的返券金額是兩次金額之和.
(Ⅰ)若某位顧客消費(fèi)300元,求返券金額不低于30元的概率;
(Ⅱ)若某位顧客恰好消費(fèi)600元,并按規(guī)則參與了活動(dòng),他獲得返券的金額記為(元).求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓上存在兩點(diǎn),使得的垂心(三角形三條高的交點(diǎn))恰為坐標(biāo)原點(diǎn),試求直線的方程.
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