Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)（）.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，.

（3）證明：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)、分類討論得到答案.

（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.

（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.

（1）解：的定義域?yàn)?/span>，，

當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.

因?yàn)?/span>，所以，，

則，從而在上單調(diào)遞減，

所以，即.

（3）證明：當(dāng)時(shí)，.

由（1）知，，所以，

即.

當(dāng)時(shí)，，，

則，

即，

又，

所以，

即.