Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₃=24，S₁₁=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）當(dāng)n為何值時(shí)，S_n最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）分別利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式由a₃=24，S₁₁=0表示出關(guān)于首項(xiàng)和公差的兩個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)與公差，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求出的首項(xiàng)與公差，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可表示出S_n；
（Ⅲ）根據(jù)（2）求出的前n項(xiàng)和的公式得到S_n是關(guān)于n的開口向下的二次函數(shù)，根據(jù)n為正整數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求出S_n的最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，∵a₃=24，S₁₁=0，
∴a₁+2d=24，a₁+55d=0，
解之得a₁=40，d=-8，∴a_n=48-8n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₁=40，a_n=48-8n，
∴S_n=

n(40+48-8n)

2

=-4n²+44n．
（Ⅲ）由（Ⅱ）有，S_n=-4n²+44n=-4（n-5.5）²+121，
故當(dāng)n=5或n=6時(shí)，S_n最大，且S_n的最大值為120．

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式，靈活運(yùn)用二次函數(shù)求最值的方法解決實(shí)際問題，是一道中檔題．