Question

如圖，A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

），點C為α終邊與單位圓交點，α∈[0，

2π

3

]，

OC

=λ

OA

+μ

OB

，λ，μ∈R．
（1）當(dāng)α=

π

3

時，求λ+μ的值；
（2）用α表示2λ-μ，并求2λ-μ的取值范圍；
（3）當(dāng)α在區(qū)間[0，

2π

3

]變化時，μ²+m（2λ-μ）的最大值為1，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)最值的應(yīng)用,平面向量的基本定理及其意義,平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)α=

π

3

時，

OC

=（

1

2

，

3

2

）=λ

OA

+μ

OB

=（λ-

μ

2

，

3

2

μ），可得λ-

μ

2

=

1

2

，且μ=1，解得 λ 和μ 的值，可得 λ+μ 的值．
（2）由于

OC

=（cosα，sinα）=λ

OA

+μ

OB

，解得λ=cosα+

3

3

sinα，μ=

2 3

3

sinα，可得2λ-μ=2cosα，從而得到2λ-μ的范圍．
（3）當(dāng)α在區(qū)間[0，

2π

3

]變化時，由于 μ²+m（2λ-μ）=-

4

3

(cosα-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

 的最大值為1，-

1

2

≤cosα≤1，再分

3m

4

＜-

1

2

、

3m

4

∈[-

1

2

，1]、

3m

4

＞1三種情況，分別根據(jù)μ²+m（2λ-μ）的最大值為1，求得實數(shù)m的值．

解答： 解：（1）當(dāng)α=

π

3

時，

OC

=（

1

2

，

3

2

）=λ

OA

+μ

OB

=λ（1，0）+μ（-

1

2

，

3

2

）=（λ-

μ

2

，

3

2

μ），
∴λ-

μ

2

=

1

2

，且μ=1，解得 λ=μ=1，∴λ+μ=2．
（2）由于

OC

=（cosα，sinα）=λ

OA

+μ

OB

=λ（1，0）+μ（-

1

2

，

3

2

）=（λ-

μ

2

，

3

2

μ），
∴cosα=λ-

μ

2

，sinα=

3

2

μ，解得λ=cosα+

3

3

sinα，μ=

2 3

3

sinα，
∴2λ-μ=2cosα，顯然，2λ-μ∈[-2，2]．
（3）當(dāng)α在區(qū)間[0，

2π

3

]變化時，由于 μ²+m（2λ-μ）=

4

3

sin²α+2mcosα=

4

3

-

4

3

cos²α+2mcosα=-

4

3

(cosα-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

 的最大值為1，-

1

2

≤cosα≤1，
當(dāng)

3m

4

＜-

1

2

時，即m＜-

2

3

時，由-

4

3

(-

1

2

-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

=1，求得m=0（舍去）．
當(dāng)

3m

4

∈[-

1

2

，1]時，即

4

3

≥m≥-

2

3

時，由

3

4

m²+

4

3

=1，求得m無解．
當(dāng)

3m

4

＞1時，即m＞

4

3

時，由-

4

3

(1-

3m

4

)2+

3

4

m²+

4

3

=1，求得m=

1

2

（舍去）．
故實數(shù)m的值不存在．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．