Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，現(xiàn)有以下五個(gè)數(shù)據(jù)：①a=

1

2

，②a=1，③a=

2

，④a=

3

，⑤a=4．若對(duì)于BC邊上任意的點(diǎn)Q（不含點(diǎn)C），△PQD一定為銳角三角形，則a的取值所對(duì)應(yīng)的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：根據(jù)△PQD一定為銳角三角形，轉(zhuǎn)化為求解△PQD不是銳角三角形，由三垂線定理結(jié)合PQ⊥QD，可得PQ在底面的射影AQ也與QD垂直，由此可得平面ABCD內(nèi)滿足條件的Q點(diǎn)應(yīng)在以AD為直徑的圓上，得出a≤1即可選出正確選項(xiàng)．

解答： 解：△PQD一定為銳角三角形，轉(zhuǎn)化為求解△PQD不是銳角三角形的a的范圍的補(bǔ)集即可，
連接AQ，△PQD一定為銳角三角形，
因?yàn)镻Q⊥QD，根據(jù)三垂線定理可得AQ⊥QD
在平面ABCD內(nèi)，直徑所對(duì)的圓周角為直角
所以Q點(diǎn)在以AD為直徑的圓上，
故當(dāng)BC與以AD為直徑的圓有公共點(diǎn)時(shí)，在BC邊上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD
因此AB≤

1

2

AD=1，即a≤1．
故答案為：③④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間的直線與平面、直線與直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．充分利用三垂線定理和平面內(nèi)點(diǎn)的軌跡，是解決本題的關(guān)鍵所在．