Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題
（3）當(dāng)x＞y＞e-1時(shí)，證明不等式e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0）．由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（2）由（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性能判斷函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
（3）由已知得

ex+1

ln(x+1)

＞

ey+1

ln(y+1)

．構(gòu)造函數(shù)h（x）=

ex

lnx

，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明不等式e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）．

解答： （1）解：f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0）．
當(dāng)a≤0時(shí)，ax-1＜0，從而f′（x）＜0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，若0＜x＜

1

a

，則ax-1＜0，從而f′（x）＜0，
若x＞

1

a

，則ax-1＞0，從而f′（x）＞0，
函數(shù)在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）解：由（1）知：函數(shù)在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（

1

a

）=-ln

1

a

．
0＜a＜1時(shí)，f（x）_min=f（

1

a

）=-ln

1

a

＜0．有2個(gè)零點(diǎn)；
a＞1時(shí)，f（x）_min=f（

1

a

）=-ln

1

a

＞0．沒有零點(diǎn)；
a=1時(shí)，f（x）_min=f（

1

a

）=-ln

1

a

=0．有1個(gè)零點(diǎn)；
a≤0時(shí)，1個(gè)零．
（3）證明：∵不等式e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）
∴

ex+1

ln(x+1)

＞

ey+1

ln(y+1)

．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=

ex

lnx

，
則h′（x）=

exlnx- 1 x ex

ln2x

=

ex(lnx- 1 x )

ln2x

，
可知函數(shù)在（e，+∞）上h′（x）＞0，
即函數(shù)h（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，由于x＞y＞e-1，
∴x+1＞y+1＞e，所以

ex+1

ln(x+1)

＞

ey+1

ln(y+1)

，
∴e^xln（1+y）＞e^yln（1+x）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和實(shí)數(shù)取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．