Question

3．已知ω＞0，a＞0，f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$acosωx，g（x）=2cos（ax+$\frac{π}{6}$），h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$這3個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）+h（x）的圖象的一條對(duì)稱軸方程可以為（　　）

• A． x=$\frac{π}{6}$
• B． x=$\frac{13π}{6}$
• C． x=-$\frac{23π}{12}$
• D． x=-$\frac{29π}{12}$

Answer 1

分析 由函數(shù)圖象可知，三函數(shù)的最大值均為2，可得：a=1，由圖象可知，f（x）的周期為π，可得ω=2，即可求出f（x）和g（x）解析式，因?yàn)閔（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$可求h（x），那么函數(shù)g（x）+h（x）化解．可得對(duì)稱軸方程．從而得答案．

解答 解：∵f（x）=asinωx+$\sqrt{3}$acosωx=2asin（ωx+$\frac{π}{3}$），g（x）=2cos（ax+$\frac{π}{6}$），
又由函數(shù)圖象可知，三函數(shù)的最大值均為2，可得：a=1，
∴f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），g（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$），
由圖象可知，f（x）的周期為π，∴ω=2
h（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=$\frac{2sin（2x+\frac{π}{3}）}{2cos（x+\frac{π}{6}）}$=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
那么函數(shù)g（x）+h（x）=2cos（x+$\frac{π}{6}$）+2sin（x+$\frac{π}{6}$）=$2\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{6}$$+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{5π}{12}$）．
令x$+\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}+kπ$，（k∈Z）
可得對(duì)稱軸方程為x=$\frac{π}{12}+kπ$，
當(dāng)k=-2時(shí)，可得x=-$\frac{23π}{12}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用函數(shù)圖象求出f（x）和g（x）解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．