Question

11．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的一條漸近線的斜率的取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），求焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e的取值范圍．

Answer 1

分析 由雙曲線一條漸近線的斜率的取值范圍求出3＜m＜5，由此能求出焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e的取值范圍．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的一條漸近線的斜率的取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜\frac{\sqrt{m}}{2}＜\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得3＜m＜5，
∴焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1中，
a=$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}＜b=\sqrt{m}＜\sqrt{5}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5-m}}{\sqrt{5}}$∈（0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$）．
∴焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的離心率e的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$）．

點評 本題考查橢圓的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線、橢圓的性質(zhì)的合理運用．