Question

（本小題滿分12分）
如圖，菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（III）求三棱錐的體積.

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以是的中位線，.   ………………………… 2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/27/4/rw2ar2.gif" style="vertical-align:middle;" />平面,平面，所以平面. …………………4分
（Ⅱ）由題意，,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9d/0/t6hd4.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以，.   …………………………….6分
又因?yàn)榱庑?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/04/e/1o7ig3.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7c/4/1kbxc4.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以平面，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/76/c/aid7r1.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面.
……………………………………………………………….9分
（Ⅲ）三棱錐的體積等于三棱錐的體積.
由（Ⅱ）知，平面，所以為三棱錐的高，且.
的面積為.
所求體積等于. ………………………………………………12分

解析