Question

設(shè)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對于任意的x都有f（2-x）+f（2+x）=0恒成立．如果實數(shù)m，n滿足不等式

n≥4 f(m2-6m+25)+f(n2-8n)≤0

，那么m²+n²+2m-2n的取值范圍是（　�。�

• A、[11，47]
• B、[11，39]
• C、[7，47]
• D、[7，11]

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：依題意知，y=f（x）關(guān)于（2，0）對稱，f（n²-8n）≤f（21+6m-m²），利用f（x）是定義在R上的增函數(shù)⇒（m-3）²+（n-4）²≤4，又n≥4，動點P（m，n）在以（3，4）為圓心，2為半徑的上半圓面，利用所求關(guān)系式的幾何意義即可求得答案．

解答： 解：∵f（2-x）+f（2+x）=0，
∴y=f（x）關(guān)于（2，0）對稱，
∴f（m²-6m+25）=-f[4-（m²-6m+25）]=-f（21+6m-m²），
∵f（m²-6m+25）+f（n²-8n）≤0，
∴-f（21+6m-m²）≤-f（n²-8n），
∴f（n²-8n）≤f（21+6m-m²），
又f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
∴n²-8n≤21+6m-m²，
∴（m-3）²+（n-4）²≤4，
又n≥4，
∴動點P（m，n）在以（3，4）為圓心，2為半徑的上半圓面；
又m²+n²+2m-2n=（m+1）²+（n-1）²-2，其幾何意義為動點P到定點（-1，1）的距離的平方與2之差，作圖如下：

由圖知，動點P位于坐標為（1，4）的點A時，PC²最小，又AC²=[1-（-1）]²+（4-1）²=13，
∴m²+n²+2m-2n的最小值為：AC²-2=13-2=11；
當PC經(jīng)過圓心O′（3，4）時，PC²最大，又CO′²=[3-（-1）]²+（4-1）²=25，
∴CO′=5，
∴PC=5+2=7，
∴PC²=49，
∴m²+n²+2m-2n的最大值為：PC²-2=49-2=47．
∴m²+n²+2m-2n的取值范圍是[11，47]．
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，求得（m-3）²+（n-4）²≤4是關(guān)鍵，也是難點，考查等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用，考查創(chuàng)新思維、邏輯思維與運算能力，屬于難題．