Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為

x=sinθ+cosθ y=sin2θ

（θ為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t（其中t為常數(shù)）
（1）求曲線M和N的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的參數(shù)方程,直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）當(dāng)直線N過(guò)點(diǎn)A（

2

，1）時(shí)滿足要求，此時(shí)t=

2

+1．當(dāng)直線N過(guò)點(diǎn)B（-

2

，1）時(shí)，此時(shí)t=-

2

+1．當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，聯(lián)立

x+y=t y=x2-1

得x²+x-1-t=0，由△=0求得t=-

5

4

．?dāng)?shù)形結(jié)合求得t的取值范圍．

解答：解：（1）x²=（sin θ+cos θ）²=1+sin 2θ，
所以曲線M可化為y=x²-1，x∈[-

2

，

2

]，表示一段拋物線．
由ρsin（θ+

π

4

）=

2

2

t得

2

2

ρsin θ+

2

2

ρcos θ=

2

2

t，
∴ρsin θ+ρcos θ=t，
所以曲線N可化為x+y=t，表示一條直線．
（2）若曲線M，N只有一個(gè)公共點(diǎn)，
則當(dāng)直線N過(guò)點(diǎn)A（

2

，1）時(shí)滿足要求，此時(shí)t=

2

+1，
并且向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到過(guò)點(diǎn)（-

2

，1）之前，
總是保持只有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)直線N過(guò)點(diǎn)B（-

2

，1）時(shí)，此時(shí)t=-

2

+1，所以-

2

+1＜t≤

2

+1滿足要求．
再接著從過(guò)點(diǎn)（-

2

，1）開始向左下方平行運(yùn)動(dòng)直到相切之前總有兩個(gè)公共點(diǎn)，
相切時(shí)仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)．
聯(lián)立

x+y=t y=x2-1

得x²+x-1-t=0，由△=1+4（1+t）=0，解得t=-

5

4

，
綜上可求得t的取值范圍是-

2

+1＜t≤

2

+1，或t=-

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．