Question

下列四個函數(shù)：①f（x）=x³+x²；②f（x）=x⁴+x；③f（x）=sin²x+x；④f（x）=cos2x+sinx中，僅通過平移變換就能使函數(shù)圖象為奇函數(shù)或偶函數(shù)圖象的函數(shù)為（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

考點：奇偶函數(shù)圖象的對稱性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)的圖象特征，用極值點坐標(biāo)，找出可能的對稱中心坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程，再加以驗證，從而判斷函數(shù)是否符合題中要求．

解答：解：①∵f（x）=x³+x²，
∴f ′(x)=3x2+2x=3x(x+

2

3

)，
∴在(-∞，-

2

3

)上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
在(-

2

3

，0)上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
猜測：函數(shù)圖象的可能是中心對稱圖形，
由極值點坐標(biāo)(-

2

3

，

4

27

)，(0，0)
得到函數(shù)圖象的對稱中心坐標(biāo)為(-

1

3

，

2

27

)．
∴將y=f（x）向右平移

1

3

個單位，向下平移

2

27

個單位，得到的函數(shù)解析式為：
y=(x-

1

3

)3+(x-

1

3

)2-

2

27

，即y=x3-

1

3

x，
顯然該函數(shù)為奇函數(shù)，故①中函數(shù)符合題意，排除選項B；
②∵f（x）=x⁴+x，
∴f ′(x)=4x3+1=4(x3+

1

4

)=4(x+

3	1 4

)(x2-

3	1 4

x+

3	1 16

)，
∴在(-∞，-

3	1 4

)上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在(-

3	1 4

，+∞)上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
猜測：函數(shù)圖象的可能是軸對稱圖形，
對稱軸方程為：x=-

3	1 4

．
∴將y=f（x）向右平移

3	1 4

個單位，得到的函數(shù)解析式為：
y=(x-

3	1 4

)4+(x-

3	1 4

)，即y=x4-4x3+6

3	1 16

x2-

3

4

3	1 4

．
顯然該函數(shù)不是偶函數(shù)．故②中函數(shù)不符合題意，故排除選項A、C；
綜上所述：本題應(yīng)選D．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是抓住函數(shù)的奇偶性和函數(shù)圖象的對稱性的關(guān)系，利用導(dǎo)函數(shù)研究圖象的特征．本題思維質(zhì)量較高，運算也有較高難度，屬于難題．