已知A,B兩點在拋物線C:x
2=4y上,點M(0,4)滿足
=λ
.
(1)求證:
;
(2)設(shè)拋物線C過A、B兩點的切線交于點N.
(ⅰ)求證:點N在一條定直線上;
(ⅱ)設(shè)4≤λ≤9,求直線MN在x軸上截距的取值范圍.
(1)證明:∵
=0,∴
.
(2)(ⅰ)點N(
,-4),所以點N在定直線y=-4上. (ⅱ) [-
,-
]∪[
,
].
試題分析:設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
l
AB:y=kx+4與x
2=4y聯(lián)立得x
2-4kx-16=0,
Δ=(-4k)
2-4(-16)=16k
2+64>0,
x
1+x
2=4k,x
1x
2=-16, 2分
(1)證明:∵
=x
1x
2+y
1y
2=x
1x
2+(kx
1+4)(kx
2+4)
=(1+k
2)x
1x
2+4k(x
1+x
2)+16
=(1+k
2)(-16)+4k(4k)+16=0
∴
. 4分
(2)(ⅰ)證明:過點A的切線:
y=
x
1(x-x
1)+y
1=
x
1x-
x
12, 、
過點B的切線:y=
x
2x-
x
22, 、 6分
聯(lián)立①②得點N(
,-4),所以點N在定直線y=-4上. 8分
(ⅱ)∵
=λ
,
∴(x
1,y
1-4)=λ(-x
2,4-y
2),
聯(lián)立x
1=-λx
2,x
1+x
2=4k,x
1x
2=-16,
可得k
2=
=λ+
-2,4≤λ≤9, 11分
∴
≤k
2≤
.
直線MN:y=
x+4在x軸上的截距為k.
∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是[-
,-
]∪[
,
]. 14分
點評:熟練掌握向量的坐標(biāo)運算,靈活運用直線的特征是解決此類問題的關(guān)鍵,屬?碱}型
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(滿分13分)
(1)某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖所示,求三棱錐的體積.
(2)過直角坐標(biāo)平面
中的拋物線
的焦點
作一條傾斜角為
的直線與拋物線相交于A,B兩點. 用
表示A,B之間的距離;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)
為雙曲線
的左右焦點,點P在雙曲線上,
的平分線分線段
的比為5∶1,則雙曲線的離心率的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C的長軸長為
,一個焦點的坐標(biāo)為(1,0).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx與橢圓C交于A,B兩點,點P為橢圓的右頂點.
(。┤糁本l斜率k=1,求△ABP的面積;
(ⅱ)若直線AP,BP的斜率分別為
,
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
方程
+
=1(
{1,2,3,4, ,2013})的曲線中,所有圓面積的和等于
,離心率最小的橢圓方程為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知
.
(Ⅰ)判斷曲線
在
的切線能否與曲線
相切?并說明理由;
(Ⅱ)若
求
的最大值;
(Ⅲ)若
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線
的離心率
,則k的取值范圍是( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
直角坐標(biāo)平面上,
為原點,
為動點,
,
. 過點
作
軸于
,過
作
軸于點
,
. 記點
的軌跡為曲線
,
點
、
,過點
作直線
交曲線
于兩個不同的點
、(點
在
與
之間).
(1)求曲線
的方程;
(2)是否存在直線
,使得
,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,設(shè)拋物線方程為
,
為直線
上任意一點,過
引拋物線的切線,切點分別為
.
(1)求證:
三點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(2)已知當(dāng)
點的坐標(biāo)為
時,
.求此時拋物線的方程。
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