Question

1．已知函數(shù)f（x）=px-$\frac{4p}{x}$-lnx，g（x）=lnx-$\frac{p}{x}$（4+$\frac{{e}^{2}-2e}{{p}^{2}}$），其中無(wú)理數(shù)e=2.71828…
（1）若p=0，求證：f（x）≥1-x；
（2）若f（x）在其定義域是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（3）對(duì)于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)p，是否存在x₀＞0使f（x₀）≤g（x₀）成立？若存在，求出符合條件的x₀；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若P=0，要證f（x）≥1-x；即可轉(zhuǎn)化為lnx-x+1≥0在定義域內(nèi)恒成立即可．在通過(guò)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，看函數(shù)的最小值，只要函數(shù)的最小值大于等于0即可．
（2）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求P的取值范圍；先要明確定義域；在求導(dǎo)，求導(dǎo)后，只要滿足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可．在這里要注意對(duì)參數(shù)p進(jìn)行討論．
（3）對(duì)于區(qū)間（1，2）中的任意常數(shù)P，是否存在x₀＞0，使f（x₀）≤g（x₀）成立，這種題型屬探索性問(wèn)題；解決的關(guān)鍵在于弄懂題意．據(jù)題意可轉(zhuǎn)化為：令F（x）=f（x）-g（x）=px-2lnx+$\frac{{e}^{2}-2e}{px}$，則問(wèn)題等價(jià)于找一個(gè)x₀＞0使F（x）≤0成立，故只需滿足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：當(dāng)p=0時(shí)，f（x）=-lnx．
令m（x）=lnx-x+1，則m′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$．
若0＜x＜1，m′（x）＞0，m（x）遞增；
若x＞1，m′（x）＜0，m（x）遞減，
則x=1是m（x）的極（最）大值點(diǎn)．
于是m（x）≤m（1）=0，即lnx-x+1≤0．
故當(dāng)p=0時(shí)，有f（x）≥1-x；
（2）對(duì)f（x）=px-$\frac{4p}{x}$-lnx求導(dǎo)，
得f′（x）=p+$\frac{4p}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{px}^{2}-x+4p}{{x}^{2}}$．
①若p=0，f′（x）=-$\frac{1}{x}$＜0，
則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，故p=0合題意．
②若p＞0，h（x）=px²-x+4p=p（x-$\frac{1}{2p}$）²+4p-$\frac{1}{4p}$≥4p-$\frac{1}{4p}$．
則必須4p-$\frac{1}{4p}$≥0，f′（x）≥0，
故當(dāng)p≥$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
③若p＜0，h（x）的對(duì)稱軸x=$\frac{1}{2p}$＜0，
則必須h（0）≤0，f′（x）≤0，
故當(dāng)p＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
綜合上述，p的取值范圍是（-∞，0]∪[$\frac{1}{4}$，+∞）；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）=px-2lnx+$\frac{{e}^{2}-2e}{px}$．
則問(wèn)題等價(jià)于找一個(gè)x₀＞0使F（x）≤0成立，
故只需滿足函數(shù)的最小值F（x）_min≤0即可．
因F′（x）=p-$\frac{2}{x}$-$\frac{{e}^{2}-2e}{{px}^{2}}$=$\frac{（px-e）（px-2+e）}{{px}^{2}}$=$\frac{p}{{x}^{2}}$（x-$\frac{e}{p}$）（x-$\frac{2-e}{p}$），
而x＞0，1＜p＜2，$\frac{e}{p}$＞$\frac{2}{p}$＞0，$\frac{2-e}{p}$＜0，
故當(dāng)0＜x＜$\frac{e}{p}$時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；
當(dāng)x＞$\frac{e}{p}$時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增．
于是，F(xiàn)（x）min=F（$\frac{e}{p}$）=e-2+2lnp+e-2=2e+2lnp-4＞0．
與上述要求F（x）_min≤0相矛盾，故不存在符合條件的x₀．

點(diǎn)評(píng) （1）若在其定義域內(nèi)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍；先要明確定義域；在求導(dǎo)，求導(dǎo)后，只要滿足導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間恒大于0或在某區(qū)間恒小于0即可．這是通性通法．
（2）對(duì)于區(qū)間任意給定的某區(qū)間，某代數(shù)式恒成立問(wèn)題，解決的關(guān)鍵在于弄懂題意．據(jù)題意一般可可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，求滿足函數(shù)的最小值或者函數(shù)的最大值即可