Question

已知命題p：存在x∈[1，4]使得x²-4x+a=0成立，命題q：對(duì)于任意x∈R，函數(shù)f（x）=lg（x²-ax+4）恒有意義．
（1）若p是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p∨q是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的根的存在性定理分兩類存在一個(gè)x∈[1，4]滿足條件和存在兩個(gè)x∈[1，4]滿足條件，求出p是真命求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（2）本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先求出簡(jiǎn)單命題為真命題的參數(shù)范圍，再根據(jù)真值表進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）設(shè)g（x）=x²-4x+a，對(duì)稱軸為x=2
若存在一個(gè)x∈[1，4]滿足條件，則g（1）＜0，g（4）≥0，得0≤a＜3，…（3分）
若存在兩個(gè)x∈[1，4]滿足條件，則g（1）≥0，g（2）≤0，得3≤a≤4，
故p是真命題時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為0≤a≤4…（6分）
（2）由題意知p，q都為假命題，
若p為假命題，則a＜0或a＞4…（8分）
若命題q為真命題即對(duì)于任意x∈R，函數(shù)f（x）=lg（x²-ax+4）恒有意義
所以x²-ax+4＞0恒成立
所以△=a²-16＜0得-4＜a＜4
所以q為假命題時(shí)a≤-4或a≥4…（10分）
故滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤-4或a＞4…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假判定，解決的辦法是先求出簡(jiǎn)單命題為真命題的參數(shù)范圍，屬于中檔題目．