Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足條件：f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）討論二次函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[t，t+1]（t∈R）上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+1，根據(jù)f（x+1）=f（x）+2x，解得a，b的值，即可求出f（x）的解析式；
（2）分情況討論當t≥

1

2

，t+1≤

1

2

，-

1

2

＜t＜

1

2

時，分別求出f（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）設f（x）=ax²+bx+1
根據(jù)已知則有a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+bx+1+2x
即有2ax+a+b=2x
解得a=1，b=-1
∴f（x）=x²-x+1
（2）解：①當t≥

1

2

時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)
∴f（x）_min=f（t）
②當t+1≤

1

2

，即t≤-

1

2

時，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)
∴f(x)min=f(t+1)=(t+

1

2

)2+

3

4

=t2+t+1
③當-

1

2

＜t＜

1

2

時，f(x)min=f(

1

2

)=

3

4

點評：本題主要考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解及常用方法，屬于中檔題．