Question

在全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試中只有三道題,已知(1)某校25個(gè)學(xué)生參加競(jìng)賽,每個(gè)學(xué)生至少解出一道題;(2)在所有沒有解出第一題的學(xué)生中,解出第二題的人數(shù)是解出第三題的人數(shù)的2倍;(3)只解出第一題的學(xué)生比余下的學(xué)生中解出第一題的人數(shù)多1;(4)只解出一道題的學(xué)生中,有一半沒有解出第一題,問共有多少學(xué)生只解出第二題?

Answer 1

思路分析:本題的條件較多,利用Venn圖,設(shè)解出第一、二、三道題的學(xué)生的集合為A、B、C,并用三個(gè)圓分別表示,如圖1-1-9,則重疊部分表示同時(shí)解出兩道題或三道題的集合,這樣得到七個(gè)部分,其人數(shù)分別用a,b,c,d,e,f,g表示,然后,根據(jù)已知條件列出方程組求出b.

          圖1-1-9

解:根據(jù)已知條件(1),(2),(3),(4)可得

a+b+c+d+e+f+g=25,                                                 ①

b+f=2(c+f),                                                                ②

a=d+e+g+1,                                                              ③

a=b+c.                                                                       ④

②代入①得a+2b-c+d+e+g=25,                                    ⑤

③代入⑤得2b-c+2d+2e+2g=24,                                  ⑥

④代入⑤得3b+d+e+g=25,                                           ⑦

⑦×2-⑥得4b+c=26.                                                    ⑧

由于c≥0,所以b≤6.

利用②⑧消去c,得f=b-2(26-4b)=9b-52.

因?yàn)閒≥0,所以b≥5.

則有b=6,即只解出第二題的學(xué)生有6人.