設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的兩點(diǎn),已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的離心率e=
3
2
,短軸長(zhǎng)為2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
,
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.
分析:(1)根據(jù)題意,可得b=1且
a2-b2
a
=
3
2
,解出a=2,由此即可得到該橢圓的方程;

(2)由(1)得焦點(diǎn)F(0,
3
),設(shè)AB的方程為y=kx+
3
,與橢圓方程聯(lián)解并消去y,得(k2+4)x2+2
3
kx-1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2、x1x2關(guān)于k的表達(dá)式.由
m
n
=0
,利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)得到關(guān)于k的方程,解出k=±
2
,代入前面式子得x1+x2=?
2
6
6
,x1x2=-
1
6
,從而算出|x1-x2|=
2
3
3
,由此代入△AOB面積公式,即可得到所求△AOB的面積.
解答:解:(1)∵短軸長(zhǎng)為2b=2,∴b=1
又∵橢圓的離心率e=
c
a
=
a2-b2
a
=
3
2


∴解得a=2,所以橢圓的方程為
y2
4
+x2=1
(5分)
(2)由(1)得c=
a2-b2
=
3
,可得F(0,
3

由題意知直線AB的斜率存在,
設(shè)直線AB的方程為y=kx+
3
,與橢圓方程聯(lián)解得
y=kx+
3
y2
4
+x2=1

消去y,得(k2+4)x2+2
3
kx-1=0

x1+x2=
-2
3
k
k2+4
,x1x2=
-1
k2+4
(7分)
m
n
=0

x1x2
b2
+
y1y2
a2
=x1x2+
1
4
(kx1+
3
)(kx2+
3
)
=(1+
k2
4
)x1x2+
3
k
4
(x1+x2)+
3
4

=
k2+4
4
(-
1
k2+4
)+
3
k
4
-2
3
k
k2+4
+
3
4
=0
,解之得k=±
2
(10分)
x1+x2=
-2
3
k
k2+4
=?
2
6
6
,x1x2=
-1
k2+4
=-
1
6

由此可得|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(
2
6
6
)
2
-4(-
1
6
)
=
2
3
3

∴△AOB的面積為S△AOB=
1
2
|OF|•|x1-x2|=
3
2
2
3
3
=1
.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題給出橢圓的短軸長(zhǎng)和離心率,求橢圓的方程并依此求△AOB的面積.著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和坐標(biāo)系中三角形面積求法等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在定點(diǎn)Q,使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn),且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2

(Ⅰ)求證:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值;
(Ⅱ)定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的Sn,設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若對(duì)于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點(diǎn),且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值;
(2)求s2,s3,s4及Sn;
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn≤λ(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求λ的最小正整數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是拋物線y=x2上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中x3>x2≥0,△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
(1)求證:直線BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2
;
(2)求A、C兩點(diǎn)之間距離的最小值.

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