精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設A(x1,y1),B(x2,y2)是函數f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點,且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O為坐標原點,已知點M的橫坐標為
1
2

(Ⅰ)求證:點M的縱坐標為定值;
(Ⅱ)定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011
(Ⅲ)對于(Ⅱ)中的Sn,設an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若對于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實數k的取值范圍.
分析:(I)由題設條件知M是AB的中點,由中點坐標公式可以求出M點的給坐標.
(II)根據Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)
=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)
,則 Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)
以上兩式相加后兩邊再同時除以2就得到Sn,從而求出S2011;
(III)先求出an,代入不等式kan3-3an2+1>0,要使不等式n3-3n+k>0對于任意n∈N*恒成立,即使k>(-n3+3n)max即可求出k的范圍.
解答:解:(I)依題意由
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
知M為線段AB的中點.
又∵M的橫坐標為1,A(x1,y1),B(x2,y2)即
x1+x2
2
=
1
2
?x1+x2=1

y1+y2=1+log2(
x1
1-x1
x2
1-x2
)=1+log21=1?
y1+y2
2
=
1
2

即M點的縱坐標為定值
1
2

 (II)①由(Ⅰ)可知f(x)+f(1-x)=1,
又∵n≥2時 Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)

Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+••+f(
1
n
)

兩式想加得,2Sn=n-1
Sn=
n-1
2

∴S2011=
2011-1
2
=1005
(III)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)

∴an=
1
n
                                                                                
若對于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,
∴不等式n3-3n+k>0對于任意n∈N*恒成立,
即k>(-n3+3n)max
∴k>2
即實數k的取值范圍為(2,+∞)
點評:本題考查了數列與函數、函數的圖象、不等式等綜合內容,函數圖象成中心對稱的有關知識,考查相關方法,考查了數列中常用的思想方法,如倒序相加法,利用函數與方程的思想,轉化與化歸思想解答熱點問題--有關恒成立問題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線l過點F交拋物線C于A、B兩點.
(Ⅰ)設A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在定點Q,使得無論AB怎樣運動都有∠AQF=∠BQF?證明你的結論.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

設A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的兩點,已知O為坐標原點,橢圓的離心率e=
3
2
,短軸長為2,且
m
=(
x1
b
,
y1
a
),
n
=(
x2
b
,
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線AB過橢圓的焦點F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

設A(x1,y1),B(x2,y2)是函數f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點,且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點M的橫坐標為
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求點M的縱坐標值;
(2)求s2,s3,s4及Sn;
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn為數列{an}的前n項和,若Tn≤λ(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求λ的最小正整數值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

設A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是拋物線y=x2上的三個動點,其中x3>x2≥0,△ABC是以B為直角頂點的等腰直角三角形.
(1)求證:直線BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2
;
(2)求A、C兩點之間距離的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案