Question

已知A、B、C為銳角△ABC的三個內(nèi)角，向量

m

=（2-2sinA，cosA+sinA）與

n

=（sinA-cosA，1+sinA）共線．
（1）求角A的大小和求角B的取值范圍；
（2）討論函數(shù)y=2sin²B+cos

C-3B

2

的單調(diào)性并求其值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知得得（2-2sinA）•（1+sinA）-（cosA+sinA）•（sinA-cosA）=2-2sin²A-sin²A+cos²A=3-4sin²A=0，由此能求出角A的大小和求角B的取值范圍．
（2）y=2sin²B+cos

C-3B

2

=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin(2B-

π

6

)+1，B∈(

π

6

，

π

2

)，由此能求出其單調(diào)性并求其值域．

解答： 解：（1）

m

=(2-2sinA，cosA+sinA)與

n

=(sinA-cosA，1+sinA)共線，
得（2-2sinA）•（1+sinA）-（cosA+sinA）•（sinA-cosA）
=2-2sin²A-sin²A+cos²A=3-4sin²A=0，
由A為銳角得sinA=

3

2

，從而A=

π

3

，
又因?yàn)殇J角三角形，B∈(0，

π

2

)，且C=π-A-B∈(0，

π

2

)
解得B∈(

π

6

，

π

2

)．
（2）y=2sin2B+cos(

C-3B

2

)=2sin2B+cos(

2 3 π-B-3B

2

)
=1-cos2B+cos(

π

3

-2B)=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin(2B-

π

6

)+1，B∈(

π

6

，

π

2

)，
該函數(shù)在(

π

6

，

π

3

)上單調(diào)遞增，在(

π

3

，

π

2

)上單調(diào)遞減，2B-

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，y=sin(2B-

π

6

)+1∈(

3

2

，2]．

點(diǎn)評：本題考查角A的大小和求角B的取值范圍的求法，考查函數(shù)y=2sin²B+cos

C-3B

2

的單調(diào)性的討論并求其值域，是中檔題．