已知sin(2α+β)=3sinβ,設(shè)tanα=x,tanβ=y,記y=f(x)
(1)求f(x) 的表達式;
(2)定義正數(shù)數(shù)列{an};a1=
1
2
,an+12=2an•f(an)(n∈N*).試求數(shù)列{an}的通項公式.
考點:數(shù)列與三角函數(shù)的綜合
專題:新定義,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析:(1)由sin(2α+β)=3sinβ,設(shè)tanα=x,tanβ=y,記y=f(x),進行角的變換從而求出解析式;
(2)根據(jù)定義正數(shù)數(shù)列{an};a1=
1
2
,an+12=2an•f(an)(n∈N*),證明{
1
an2
-2
}是首項為2,公比為
1
2
的等比數(shù)列.
解答: 解:(1)由sin(2α+β)=3sinβ,得sin[(α+β)]=3sin[(α+β)-α],
所以tan(α+β)=2tanα,
于是,
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=2tanα
,即
x+y
1-xy
=2x
,解得:y=
x
1+2x2
;
(2)因為a n+12=2anf(an)=
2an2
1+2an2

所以
1
an+12
=
1
2an2
+1
,
1
an+12
-2
=
1
2
(
1
an2
-2)

因此,{
1
an2
-2
}是首項為2,公比為
1
2
的等比數(shù)列.
所以
1
an2
-2=2(
1
2
)n-1
,
an=
2n-2
2n-1+1
點評:本題比較綜合,考查函數(shù)的解析式的求法、數(shù)列的通項公式的求法,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知命題p:方程
x2
a+3
+
y2
a-1
=1表示雙曲線;命題q:不等式x2+ax+2<0有解,若p∨q和¬q均為真命題,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

作出函數(shù)y=
|1-x2|
1+|x|
的圖象.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知A、B、C為銳角△ABC的三個內(nèi)角,向量
m
=(2-2sinA,cosA+sinA)與
n
=(sinA-cosA,1+sinA)共線.
(1)求角A的大小和求角B的取值范圍;
(2)討論函數(shù)y=2sin2B+cos
C-3B
2
的單調(diào)性并求其值域.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知|
a
|=
3
,|
b
|=2,<
a
b
>=30°,求|
a
+
b
|,|
a
-
b
|.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=
ax+3a-3x<0
x2+1x≥0
在R上是單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

一種設(shè)備的價值為a元,設(shè)備的維修和消耗費用第一年為b元,以后每年增加b元,用t表示設(shè)備使用的年數(shù),用y表示設(shè)備的年平均費用,則y=設(shè)備年平均維修費和消耗費用+設(shè)備價值的年折舊.(注:年折舊=設(shè)備價值÷使用年數(shù))
(Ⅰ) 寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ) 若a=450000元,b=1000元時,求這種設(shè)備的最佳使用年限(使年平均費用最低的t).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若數(shù)列{an}的相鄰兩項an,an+1是關(guān)于x的方程x2-2nx+bn=0,(n∈N*)的兩根,且a1=1.
(1)求證:數(shù)列{an-
1
3
×2n}
是等比數(shù)列.
(2)設(shè)是Sn數(shù)列{an}的前n項和,問是否存在常數(shù)λ,使得bn-λSn>0對任意n∈N*都成立,若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

a
b
c
=
a
b
c
 
.(判斷對錯)

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