Question

如圖，A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個頂點(diǎn)，|AB|=

5

，直線AB的斜率為-

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l平行與AB，并與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求△OCD的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出|AB|=

a2+b2

=

5

，k=

b-0

0-a

=-

b

a

=-

1

2

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=-

1

2

x+m，將其代入

x2

4

+y2=1，消去y并整理，得2x²-4mx+4m²-4=0，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則

△=16m2-32(m2-1)＞0 x1+x2=2m x1x2=2m2-2

，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式和配方法能求出△OCD的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個頂點(diǎn)，
|AB|=

5

，直線AB的斜率為-

1

2

，
∴A（a，0），B（0，b），|AB|=

a2+b2

=

5

，
k=

b-0

0-a

=-

b

a

=-

1

2

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵l∥AB，∴設(shè)直線l的方程為y=-

1

2

x+m，
將其代入

x2

4

+y2=1，消去y并整理，得2x²-4mx+4m²-4=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則

△=16m2-32(m2-1)＞0 x1+x2=2m x1x2=2m2-2

，
|CD|=

(x1-x2)2+ 1 22 (x-x2)2

=

1+ 1 4

•|x1-x2|，
∵|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

2

2-m2

，
∴|CD|=

5

•

2-m2

，
點(diǎn)O到直線CD的距離d=

|2m|

5

，
∴△OCD的面積S=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

5

•

2-m2

•

|2m|

5

=|m|

2-m2

=

2m2-m 4

，
令m²=n，則0＜n＜2，2m²-n⁴=-n²+2n=-（n-1）²+1≤1，
∴△OCD的面積的最大值為1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式和配方法的合理運(yùn)用．