Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點P（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）橢圓E的內(nèi)接平行四邊形ABCD的一組對邊分別過橢圓的焦點F₁，F(xiàn)₂，求該平行四邊形面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件設(shè)橢圓E的方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，把點P（1，

3

2

）代入，能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）當(dāng)直線AD的斜率不存在時，?ABCD的面積S=6．當(dāng)直線AD的存在時，設(shè)其方程為y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，得（3+4k²）x²-k²x+4k²-12=0，由此利用韋達定理求出?ABCD的面積S＜6，由此求出符合條件的橢圓內(nèi)接?ABCD的面積的最大值為6．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

1

2

，且經(jīng)過點P（1，

3

2

），
∴

c

a

=

1

2

，∴a²=4c²，b²=3c²，
∴橢圓E的方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
把點P（1，

3

2

）代入，得

1

4c2

+

3

4c2

=1，解得c²=1，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線AD的斜率不存在時，直線AD的方程為x=1，
解方程組

x2 4 + y2 3 =1 x=1

，得A（1，

3

2

），D（1，-

3

2

），
∴?ABCD的面積S=6．
當(dāng)直線AD的存在時，設(shè)其方程為y=k（x-1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，消去y整理，得：
（3+4k²）x²-k²x+4k²-12=0，
∴x1 +x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴|AD|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

12(k2+1)

3+4k2

，
又F1 (-1，0)到AD的距離d=

2|k|

1+k2

，
∴?ABCD的面積：
S=|AD|•d=

24|k| 1+k2

3+4k2

=6

16k4+16k2 16k4+24k2+9

=6

1- 8k2 (3+4k2)2

＜6，
綜上，符合條件的橢圓內(nèi)接?ABCD的面積的最大值為6．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查平行四邊形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．