Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：

（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）有且僅有2個零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而可證得結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論可知為在上的唯一零點(diǎn)；當(dāng)時，首先可判斷出在上無零點(diǎn)，再利用零點(diǎn)存在定理得到在上的單調(diào)性，可知，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時，利用零點(diǎn)存在定理和單調(diào)性可判斷出存在唯一一個零點(diǎn)；當(dāng)，可證得；綜合上述情況可證得結(jié)論.

（1）由題意知：定義域為：且

令，

，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減

在上單調(diào)遞減

又，

，使得

當(dāng)時，；時，

即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

則為唯一的極大值點(diǎn)

即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).

（2）由（1）知：，

①當(dāng)時，由（1）可知在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞減

又

為在上的唯一零點(diǎn)

②當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又

在上單調(diào)遞增，此時，不存在零點(diǎn)

又

，使得

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

又，

在上恒成立，此時不存在零點(diǎn)

③當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減

在上單調(diào)遞減

又，

即，又在上單調(diào)遞減

在上存在唯一零點(diǎn)

④當(dāng)時，，

即在上不存在零點(diǎn)

綜上所述：有且僅有個零點(diǎn)