【題目】已知曲線，為直線上的動點，過作的兩條切線，切點分別為.

（1）證明：直線過定點：

（2）若以為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求該圓的方程.

【答案】(1)見詳解；(2) 或.

【解析】

（1）可設，，然后求出A，B兩點處的切線方程，比如：，又因為也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線方程，最后求出它所過的定點.

（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過為線段的中點，得出的值，從而求出坐標和的值，最后求出圓的方程.

(1)證明：設,,則。又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為.即，當時等式恒成立。所以直線恒過定點.

(2)由(1)得直線方程為，和拋物線方程聯(lián)立得：

化簡得.于是,設為線段的中點，則

由于，而,與向量平行，所以，

解得或.

當時，，所求圓的方程為;

當時，或，所求圓的方程為.

所以圓的方程為或.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為的導數(shù)．證明：

（1）在區(qū)間存在唯一極大值點；

（2）有且僅有2個零點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調查專項附加扣除的享受情況.

（Ⅰ）應從老、中、青員工中分別抽取多少人？

（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.

員工

項目

A

B

C

D

E

F

子女教育

○

○

×

○

×

○

繼續(xù)教育

×

×

○

×

○

○

大病醫(yī)療

×

×

×

○

×

×

住房貸款利息

○

○

×

×

○

○

住房租金

×

×

○

×

×

×

贍養(yǎng)老人

○

○

×

×

×

○

（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；

（ii）設為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件發(fā)生的概率.

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【題目】如圖，已知橢圓的離心率是，一個頂點是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設，是橢圓上異于點的任意兩點，且．試問：直線是否恒過一定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由．

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【題目】在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，），（0，），的距離之和等于4，設點P的軌跡為C．

（1）求C的方程．

（2）設直線與C交于A，B兩點，求弦長|AB|，并判斷OA與OB是否垂直，若垂直，請說明理由．

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【題目】已知曲線

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求曲線過點的切線方程

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點為拋物線，點為焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點右側.記的面積為.

（1）求的值及拋物線的標準方程；

（2）求的最小值及此時點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：x2=2py經過點（2，1）．

（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程；

（Ⅱ）設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐PABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，

∠ABC=∠DCB=60，E是PC上一點.

（Ⅰ）證明：平面EAB⊥平面PAC；

（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中點，求三棱錐AEBC的體積.

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