Question

12．已知函數(shù)f（x）的值域為[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，求函數(shù)y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域
有一位同學給出了如下解答，你認為正確嗎？為什么？如果不正確，請你給出正確的解答過程
解；因為f（x）的值域是[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，即$\frac{3}{8}$≤f（x）≤$\frac{4}{9}$，所以$\frac{1}{9}$≤1-2f（x）≤$\frac{1}{4}$，所以$\frac{1}{3}$≤$\sqrt{1-2f（x）}$≤$\frac{1}{2}$，所以$\frac{17}{24}$≤f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$≤$\frac{17}{18}$，所以y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域為[$\frac{17}{24}$，$\frac{17}{18}$]．

Answer 1

分析 可以看出$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$和不等式$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$不能同時取等號，從而這兩個不等式不能相加，從而這種解法不正確，現(xiàn)在看一下如何正確求解：原函數(shù)里含著根號，從而可考慮換元，令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，這時要確定t的范圍，顯然需根據(jù)f（x）的范圍來確定，求出t的范圍后，再求出f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，帶入原函數(shù)便得到關于t的二次函數(shù)，根據(jù)t的范圍求該二次函數(shù)的值域即可．

解答 解：這位同學的解答不正確．
因為不等式$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$和$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$的等號不能同時取到，從而兩不等式相加后等號不等取到，解法如下：
令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，∵$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$，∴$\frac{1}{9}≤1-2f（x）≤\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{3}≤t≤\frac{1}{2}$，且f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，該函數(shù)在$t∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上單調遞增，設y=f（t），則：
$f（\frac{1}{3}）≤f（t）≤f（\frac{1}{2}）$；
∴$\frac{7}{9}≤f（t）≤\frac{7}{8}$；
∴原函數(shù)的值域為[$\frac{7}{9}，\frac{7}{8}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，函數(shù)解析式中含根號時，可考慮換元去掉根號，注意要確定換元后的變量的取值范圍，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調性求二次函數(shù)值域的方法．