Question

12．已知函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，求函數(shù)y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域
有一位同學(xué)給出了如下解答，你認(rèn)為正確嗎？為什么？如果不正確，請(qǐng)你給出正確的解答過(guò)程
解；因?yàn)閒（x）的值域是[$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{9}$]，即$\frac{3}{8}$≤f（x）≤$\frac{4}{9}$，所以$\frac{1}{9}$≤1-2f（x）≤$\frac{1}{4}$，所以$\frac{1}{3}$≤$\sqrt{1-2f（x）}$≤$\frac{1}{2}$，所以$\frac{17}{24}$≤f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$≤$\frac{17}{18}$，所以y=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的值域?yàn)閇$\frac{17}{24}$，$\frac{17}{18}$]．

Answer 1

分析 可以看出$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$和不等式$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$不能同時(shí)取等號(hào)，從而這兩個(gè)不等式不能相加，從而這種解法不正確，現(xiàn)在看一下如何正確求解：原函數(shù)里含著根號(hào)，從而可考慮換元，令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，這時(shí)要確定t的范圍，顯然需根據(jù)f（x）的范圍來(lái)確定，求出t的范圍后，再求出f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，帶入原函數(shù)便得到關(guān)于t的二次函數(shù)，根據(jù)t的范圍求該二次函數(shù)的值域即可．

解答 解：這位同學(xué)的解答不正確．
因?yàn)椴坏仁?\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$和$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$的等號(hào)不能同時(shí)取到，從而兩不等式相加后等號(hào)不等取到，解法如下：
令$\sqrt{1-2f（x）}=t$，∵$\frac{3}{8}≤f（x）≤\frac{4}{9}$，∴$\frac{1}{9}≤1-2f（x）≤\frac{1}{4}$；
∴$\frac{1}{3}≤\sqrt{1-2f（x）}≤\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{3}≤t≤\frac{1}{2}$，且f（x）=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，該函數(shù)在$t∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}]$上單調(diào)遞增，設(shè)y=f（t），則：
$f（\frac{1}{3}）≤f（t）≤f（\frac{1}{2}）$；
∴$\frac{7}{9}≤f（t）≤\frac{7}{8}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇$\frac{7}{9}，\frac{7}{8}$]．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，函數(shù)解析式中含根號(hào)時(shí)，可考慮換元去掉根號(hào)，注意要確定換元后的變量的取值范圍，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)值域的方法．