在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c．且滿足
a
sinA
=
c
3
cosC
．
（1）求角C的大��；
（2）求
3
sinA-cosB的最大值．
考點：正弦定理
專題：解三角形
分析：（1）根據(jù)正弦定理和條件可得
c
sinC
=
c
3
cosC
，再由商的關(guān)系求出tanC的值，即可求出角C的大��；
（2）由（1）和內(nèi)角和定理得B=
2π
3
-A，并求出角A的范圍，代入式子利用兩角和差的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，由A的范圍和正弦函數(shù)的最大值，求出式子的最大值．
解答： 解：（1）由正弦定理得，
a
sinA
=
c
sinC
，
因為
a
sinA
=
c
3
cosC
，所以
c
sinC
=
c
3
cosC
，
則sinC=
3
cosC，即tanC=
3
，
由0＜C＜π得，C=
π
3
；
（2）由（1）得，A+B=π-
π
3
，則B=
2π
3
-A，
則0＜A＜
2π
3
，
所以
3
sinA-cosB=
3
sinA-cos（
2π
3
-A）
=
3
sinA-（-
1
2
cosA+
3
2
sinA）
=
3
2
sinA+
1
2
cosA
=sin(A+
π
6
)，
由0＜A＜
2π
3
得，
π
6
＜A+
π
6
＜
5π
6
，
當A+
π
6
=
π
2
時，即A=
π
3
，sin(A+
π
6
)的最大值是1，
故
3
sinA-cosB的最大值是1．
點評：本題考查了正弦定理，兩角和差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)等，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知（m-1）x2+（-m+2）x-1＞0，其中0＜m＜2
（1）解關(guān)于x的不等式；
（2）若x＞1時，不等式恒成立，求實數(shù)m的范圍．

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已知在△ABC中，∠B=90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分別為N、M，求證：AN⊥BC，MN⊥SC．

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（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）通過{bn}=
Sn
n+c
構(gòu)造一個新的數(shù)列{bn}，是否存在一個非零常數(shù)c，使{bn}也為等差數(shù)列；
（3）求f（n）=
bn
(n+2005)•bn+1
（n∈N*）的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
a•2x+a-2
2x+1
（x∈R）是奇函數(shù)
（1）求實數(shù)a的值；  
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了研究失重狀態(tài)下男女航天員暈飛船的情況，抽取了105名被試者，得到下面2×2列聯(lián)表部分數(shù)據(jù)．
（1）完成該列聯(lián)表
暈船不暈船合計
男性30
女性1055
合計75
（2）根據(jù)獨立性假設(shè)檢驗的方法，有百分之幾的把握認為“在失重狀態(tài)下男性比女性更容易暈飛船？”

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且f（x•y）=f（x）+f（y）對于任何實數(shù)x，y都成立，
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（
x
y
）=f（x）-f（y）；
（3）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點Q的球坐標為（2，
3π
4
，
3π
4
），則它的直角坐標為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等邊△ABC的邊長為2，則|
AB
-
AC
|=
 
．

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