Question

（2012•鄭州二模）已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx，且圖象在點(diǎn)（

1

e

，f（

1

e

））處的切線斜率為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值；
（II）設(shè)g（x）=

f(x)-x

x-1

，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)m＞n＞1（m，n∈Z）時(shí)，證明：

m n

n m

＞

n

m

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，知f′（x）=a+1+lnx，依題意f′(

1

e

)=a，由此能求出a．
（Ⅱ）因?yàn)間（x）=

f(x)-x

x-1

=

xlnx

x-1

，所以g′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

．設(shè)∅（x）=x-1-lnx，則∅′（x）=1-

1

x

，由此能求出g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）要證

m n

n m

＞

n

m

，即證

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，即

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

，由此能夠證明

m n

n m

＞

n

m

．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，
依題意f′(

1

e

)=a=1，所以a=1．…（2分）
（Ⅱ）因?yàn)�，g（x）=

f(x)-x

x-1

，
g（x）=

f(x)-x

x-1

=

xlnx

x-1

，所以g′(x)=

x-1-lnx

(x-1)2

．
設(shè)∅（x）=x-1-lnx，
則∅′（x）=1-

1

x

．…（4分）
當(dāng)x＞1時(shí)，∅′（x）=1-

1

x

＞0，∅（x）是增函數(shù)．
對(duì)?x＞1，∅（x）＞∅（1）=0，
即當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，…（6分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，∅′（x）=1-

1

x

＜0．∅（x）是減增函數(shù)．
對(duì)?x∈（0，1），∅（x）＞∅（1）=0，
即當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
所以，g（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）要證

m n

n m

＞

n

m

，即證

lnn

m

-

lnm

n

＞lnn-lnm，
即

n-1

n

lnm＞

m-1

m

lnn，

mlnm

m-1

＞

nlnn

n-1

．…（10分），
因?yàn)閙＞n＞1，由（2）知，g（m）＞g（n），
所以

m n

n m

＞

n

m

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．