Question

12．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩焦點坐標為$（{-\sqrt{2}，0}），（{\sqrt{2}，0}）$，且過點$（{\sqrt{2}，1}）$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點P$（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$作直線交橢圓于A，C兩點．直線OP交橢圓于B，D兩點．若P為AC中點，
①求直線AC的方程；
②求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：c=$\sqrt{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（II）①設直線AC的方程為：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=k（x-1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．與題意方程聯立化為：（1+2k²）x²+$（2\sqrt{2}k-4{k}^{2}）$x+2k²-2$\sqrt{2}$k-3=0．利用根與系數的關系、中點坐標公式可得k，即可得出．
②由①可得：x²-2x=0，解得x=0，2．可得|AC|=$\sqrt{6}$．直線OP的方程為：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．與題意方程聯立解得B，D坐標．分別求出點B到AC的距離d₁．點D到AC的距離d₂．利用四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：c=$\sqrt{2}$，$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯立解得：a=2，b²=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（II）①設直線AC的方程為：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=k（x-1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{\sqrt{2}}{2}-k}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²+$（2\sqrt{2}k-4{k}^{2}）$x+2k²-2$\sqrt{2}$k-3=0．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}-2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}-\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$=1，解得k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線AC的方程為：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），化為：x+$\sqrt{2}$y-2=0．
②由①可得：x²-2x=0，解得x=0，2．
∴C（2，0），A（0，$\sqrt{2}$）．
|AC|=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
直線OP的方程為：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{2}}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∴B（$\sqrt{2}$，1），D（-$\sqrt{2}$，-1）．
點B到AC的距離d₁=$\frac{|\sqrt{2}+\sqrt{2}-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$．
點D到AC的距離d₂=$\frac{|-\sqrt{2}+\sqrt{2}-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴四邊形ABCD的面積S=$\frac{1}{2}$|AC|（d₁+d₂）
=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}$×（$\frac{2\sqrt{6}-2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）=2．

點評 本題考查了橢圓的吧方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．