Question

7．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4x，（x≥0）\\ 4x-{x^2}，（x＜0）\end{array}\right.$，若f（2-a）＞f（4+3a），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)二次函數(shù)的解析式分別研究分段函數(shù)在各自區(qū)間上的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由此性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解不等式，解出參數(shù)范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0 時，f（x）=x²+4x，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，它在[0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時，f（x）=4x-x²，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，它在（-∞，0）上是增函數(shù)，
該函數(shù)連續(xù)，則函數(shù)f（x） 是定義在R 上的增函數(shù)
∵f（2-a）＞f（4+3a），
∴2-a＞4+3a
解得a＜-$\frac{1}{2}$，
實(shí)數(shù)a 的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$）
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{2}$）

點(diǎn)評 本題是奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的一類最主要的題型，利用單調(diào)性將不等式f（2-a）＞f（4+3a）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求出實(shí)數(shù)a 的取值范圍，屬于中檔題．