Question

1．已知雙曲線的一個焦點的坐標是（$\sqrt{13}$，0），且過點（3，0），
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知經(jīng)過點E（1，2）的直線l與雙曲線交于A，B兩點，使得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{EB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的交點坐標以及過定點，確定a，c的值即可得到結(jié)論．
（2）設出A，B的坐標，利用直線和雙曲線進行聯(lián)立方程，利用設而不求的思想結(jié)合中點坐標公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線的一個焦點的坐標是（$\sqrt{13}$，0），且過點（3，0），
∴由題知c=$\sqrt{13}$，a=3，∴b=2，
即雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
（2）∵$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{EB}$
可知E（1，2）是A，B的中點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
兩式作差得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}$-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
即∴$\frac{4}{9}\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1}\\{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=2}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=4}\end{array}\right.$，
∴$k=\frac{2}{9}$
又因為過E點，所以直線的方程為 2x-9y+16=0．

點評 本題主要考查雙曲線方程以及直線與雙曲線相交的位置關系的應用，聯(lián)立方程組利用消元法以及設而不求的思想是解決本題的關鍵．