Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2（a∈R）在點（1，f（1））處的切線與直線x-3y-1=0垂直．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若g（x）=f（x）+2x²-x-2，且當x∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，g（x）≤2m-3e恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，可得在x=1處切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得a的值；
（2）求得g（x）的表達式，求得導數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間，可得最大值，由題意可得g（x）_max≤2m-3e，解不等式可得m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=（x²-2x）lnx+ax²+2的導數(shù)為
f′（x）=（2x-2）lnx+x-2+2ax，
可得在點（1，f（1））處的切線斜率為2a-1，
由切線與直線x-3y-1=0垂直，可得2a-1=-3，
解得a=-1；
（2）g（x）=f（x）+2x²-x-2=（x²-2x）lnx-x²+2+2x²-x-2
=（x²-2x）lnx+x²-x，
可得g′（x）=（2x-2）lnx+3x-3=（x-1）（2lnx+3），
當x∈（e^-2，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
x∈（1，e）時，g′（x）＞0，g（x）遞增；
當x∈（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，1）時，g′（x）＜0，g（x）遞減．
由g（e）=2e²-3e＞g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）=2e${\;}^{-\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$e^-3，可得
2e²-3e≤2m-3e，解得m≥e²．
即有m的范圍是[e²，+∞）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．