【題目】 已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸的正半軸上,過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于,兩點(diǎn),且滿足
(1)求拋物線的方程;
(2)若是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在軸上,圓內(nèi)切于,求面積的最小值.
【答案】(1)(2) 8
【解析】
(1)設(shè)直線的方程為由直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元后可,代入可求得,得拋物線方程;
(2)設(shè)易知點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)均不相同.不妨設(shè)mn. 寫出直線PM的方程,由直線PM與圓相切得一關(guān)系式,同理PN與圓相切又得一關(guān)系式,兩者比較說(shuō)明是一個(gè)方程的根,由韋達(dá)定理得,從而可表示并求出(用表示),而面積為,表示為的函數(shù),由基本不等式可求得最小值.
(1)由題意,設(shè)拋物線C的方程為,則焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為.
設(shè)直線的方程為
聯(lián)立方程得,消去得
所以
因?yàn)?/span>所以故拋物線的方程為.
(2)設(shè)易知點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)均不相同.
不妨設(shè)mn.
易得直線PM的方程為化簡(jiǎn)得,
又圓心(0,1)到直線PM的距離為1,所以
所以
不難發(fā)現(xiàn),故上式可化為
同理可得
所以m,n可以看作是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則
所以
因?yàn)?/span>是拋物線C上的點(diǎn),所以
則又,所以從而
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),此時(shí)
故△PMN面積的最小值為8.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若,求實(shí)數(shù)的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,我海監(jiān)船在島海域例行維權(quán)巡航,某時(shí)刻航行至處,此時(shí)測(cè)得其北偏東方向與它相距海里的處有一外國(guó)船只,且島位于海監(jiān)船正東海里處.
(1)求此時(shí)該外國(guó)船只與島的距離;
(2)觀測(cè)中發(fā)現(xiàn),此外國(guó)船只正以每小時(shí)海里的速度沿正南方航行.為了將該船攔截在離島海里的處(在的正南方向),不讓其進(jìn)入島海里內(nèi)的海域,試確定海監(jiān)船的航向,并求其速度的最小值(角度精確到,速度精確到海里/小時(shí)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形為正方形,平面,四邊形與四邊形也都為正方形,連接,點(diǎn)為的中點(diǎn),有下述四個(gè)結(jié)論:
①; 、與所成角為;
③平面; 、與平面所成角為.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論在上的單調(diào)性;
(2)證明:在上有三個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)擬生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額成正比(如圖1),產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注: 利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元)
(注:利潤(rùn)與投資額的單位均為萬(wàn)元)
(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)、表示為投資額的函數(shù);
(2)該團(tuán)隊(duì)已籌集到10 萬(wàn)元資金,并打算全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問(wèn):當(dāng)產(chǎn)品的投資額為多少萬(wàn)元時(shí),生產(chǎn)兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】西湖小學(xué)為了豐富學(xué)生的課余生活開設(shè)課后少年宮活動(dòng),其中面向二年級(jí)的學(xué)生共開設(shè)了三門課外活動(dòng)課:七巧板、健美操、剪紙.203班有包括奔奔、果果在內(nèi)的5位同學(xué)報(bào)名參加了少年宮活動(dòng),每位同學(xué)只能挑選一門課外活動(dòng)課,已知每門課都有人選,則奔奔和果果選擇了同一個(gè)課外活動(dòng)課的選課方法種數(shù)為( )
A.18B.36C.72D.144
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+ax.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線y=4x+1平行,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若時(shí),關(guān)于x的方程在(0,2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:在上恒成立;
(2)若函數(shù)有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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