Question

7．設(shè)命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{k+1}$-$\frac{{y}^{2}}{5-k}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，命題q：?x∈R，x²+1＞k．
（1）若p為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的定義得到關(guān)于k的不等式組，解出即可；（2）先求出q為真時(shí)的k的范圍，結(jié)合p∨q為真命題，p∧q為假命題得到關(guān)于k的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{k+1}$-$\frac{{y}^{2}}{5-k}$=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，
則$\left\{\begin{array}{l}{k+1＞0}\\{5-k＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜k＜5．
即命題p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：-1＜k＜5；
（2）若命題q真，即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式x²+1＞k恒成立，
∴k＜（x²+1）_min，
∴k＜1．
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，即p真q假，或p假q真，
如果p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{-1＜k＜5}\\{k≥1}\end{array}\right.$，解得：1≤k＜5；
如果p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{k≥5或k≤-1}\\{k＜1}\end{array}\right.$，解得：k≤-1；
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，-1]∪[1，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合命題的判斷，是一道中檔題．