5.已知函數(shù)f(x)=mex-$\frac{lnx}{x}$-nexx3,且函數(shù)f(x)在點(1,e)處的切線與直線x-(2e+1)y-3=0垂直,求證:當x∈(0,1)時,f(x)>0.

分析 先求導f′(x)=mex-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-n(exx3+3exx2),從而可得$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=me-ne=e}\\{f′(1)=me-1-4ne=-2e-1}\end{array}\right.$,從而解出f(x)=2ex-$\frac{lnx}{x}$-exx3=$\frac{2{e}^{x}x-lnx-{e}^{x}{x}^{4}}{x}$=$\frac{{e}^{x}(2x-{x}^{4})-lnx}{x}$,從而判斷即可.

解答 證明:∵f(x)=mex-$\frac{lnx}{x}$-nexx3,
∴f′(x)=mex-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-n(exx3+3exx2),
又∵函數(shù)f(x)在點(1,e)處的切線與直線x-(2e+1)y-3=0垂直,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=me-ne=e}\\{f′(1)=me-1-4ne=-2e-1}\end{array}\right.$,
解得,m=2,n=1;
故f(x)=2ex-$\frac{lnx}{x}$-exx3
=$\frac{2{e}^{x}x-lnx-{e}^{x}{x}^{4}}{x}$
=$\frac{{e}^{x}(2x-{x}^{4})-lnx}{x}$,
∵x∈(0,1),
∴x>0,ex>0,2x-x4>0,lnx<0,
∴$\frac{{e}^{x}(2x-{x}^{4})-lnx}{x}$>0,
故當x∈(0,1)時,f(x)>0.

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及不等式的證明,屬于基礎題.

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