Question

【題目】某茶樓有四類茶飲，假設(shè)為顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間互相獨(dú)立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計(jì)以往為100位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間（t），結(jié)果如下：

類別	鐵觀音	龍井	金駿眉	大紅袍
顧客數(shù)（人）	20	30	40	10
時(shí)間t（分鐘/人）	2	3	4	6

注：服務(wù)員在準(zhǔn)備泡茶工具時(shí)的間隔時(shí)間忽略不計(jì)，并將頻率視為概率．
（1）求服務(wù)員恰好在第6分鐘開(kāi)始準(zhǔn)備第三位顧客的泡茶工具的概率；
（2）用X表示至第4分鐘末已準(zhǔn)備好了工具的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)Y表示服務(wù)員準(zhǔn)備工具所需的時(shí)間，用P表示概率，得Y的分布列如下；

Y	2	3	4	6
P

A表示事件“服務(wù)員在6分鐘開(kāi)始為第三位顧客準(zhǔn)備泡茶工具”，則事件A對(duì)應(yīng)兩種情形：

①為第一位顧客準(zhǔn)備泡茶工具所需的時(shí)間為2分鐘，且為第二位所需的時(shí)間為3分鐘；

②為第一位顧客所需的時(shí)間為3分鐘，且為第一位顧客準(zhǔn)備所需的時(shí)間為2分鐘；

∴P（A）=P（Y=2）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=2）

= × + × =

（2）解：X的取值為0、1、2，

X=0時(shí)對(duì)應(yīng)為第一位顧客準(zhǔn)備所需的時(shí)間超過(guò)4分鐘，

∴P（X=0）=P（Y＞4）= ；

X=1對(duì)應(yīng)為第一位顧客所需的時(shí)間2分鐘且為第二位顧客準(zhǔn)備所需的時(shí)間超過(guò)2分鐘，

或?yàn)榈谝晃活櫩蜏?zhǔn)備所需的時(shí)間3分鐘或?yàn)榈谝晃活櫩蜏?zhǔn)備所需的時(shí)間4分鐘，

∴P（X=1）=P（Y=2）P（Y＞2）+P（Y=3）+P（ Y=4）

= × + + = ；

X=2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)備兩位顧客泡茶工具的時(shí)間均為2分鐘，

∴P（X=2）=P（Y=2）P（Y=2）= × = ；

∴X的數(shù)學(xué)期望是E（X）=0× +1× +2× =

【解析】（1）設(shè)Y表示服務(wù)員準(zhǔn)備工具所需的時(shí)間，用P表示對(duì)應(yīng)的概率，求出Y的分布列，計(jì)算“服務(wù)員在第6分鐘開(kāi)始為第三位顧客準(zhǔn)備泡茶工具”的概率；（2）分析X的可能取值，求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解離散型隨機(jī)變量及其分布列(在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列)．