Question

8．樣本（x₁，x₂，…，x_n）的平均數(shù)為$\overline{x}$，樣本（y₁，y₂，…，y_m）的平均數(shù)為$\overline{y}$（$\overline{x}$≠$\overline{y}$）．若樣本（x₁，x₂，…，x_n，y₁，y₂，…，y_m）的平均數(shù)$\overline{z}$=a$\overline{x}$+b$\overline{y}$，并且$\frac{1}{a}+\frac{1}$＞$\frac{1}{2}$m²+m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-2）∪[4，+∞）
• B． （-∞，-4]∪[2，+∞）
• C． （-2，4）
• D． （-4，2）

Answer 1

分析 根據(jù)平均數(shù)的定義，求出a、b的值，再計算$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值，得出關(guān)于m的不等式，求出解集即可．

解答 解：樣本（x₁，x₂，…，x_n）的平均數(shù)為$\overline{x}$，樣本（y₁，y₂，…，y_m）的平均數(shù)為$\overline{y}$（$\overline{x}$≠$\overline{y}$）；
樣本（x₁，x₂，…，x_n，y₁，y₂，…，y_m）的平均數(shù)$\overline{z}$；
所以n$\overline{x}$+m$\overline{y}$=（m+n）$\overline{z}$，
解得$\overline{z}$=$\frac{n}{m+n}$$\overline{x}$+$\frac{m}{m+n}$$\overline{y}$；
所以a=$\frac{n}{m+n}$，b=$\frac{m}{m+n}$，
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{m+n}{n}$+$\frac{m+n}{m}$=2+$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$≥2+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{m}}$=4，
當且僅當m=n時“=”成立，
即$\frac{1}{2}$m²+m＜4，
化簡得m²+2m-8＜0，
解得-4＜m＜2，
所以實數(shù)m的取值范圍是（-4，2）．
故選：D．

點評 本題考查了平均數(shù)與不等式的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．