Question

16．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|-m，且不等式f（x）≤0的解集為[0，1]．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=m，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出不等式的解集，得到關(guān)于m的方程，解出m的值即可；
（2）a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$），根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出a+b的最小值即可．

解答 解：（1）由已知得|2x-1|-m≤0，所以|2x-1|≤m，
即-m≤2x-1≤m，解得：$\frac{1-m}{2}$≤x≤$\frac{1+m}{2}$，
因為不等式f（x）≤0的解集為[0，1]，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-m}{2}=0}\\{\frac{1+m}{2}=1}\end{array}\right.$，解得m=1．
（2）由（1）知$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=1，
所以a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$）=$\frac{3}{2}$+（$\frac{a}{2b}$+$\frac{a}$），
因為a＞0，b＞0，所以$\frac{a}{2b}$+$\frac{a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{2b}•\frac{a}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{2b}$=$\frac{a}$，即a=$\sqrt{2}$b時取等號，
因為$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$=1，此時a=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，b=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
所以a+b≥$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$，即a+b的最小值為$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．