Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}$-a（x-1）．
（1）若對(duì)任意的x∈（1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在x∈（1，+∞），有f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）分析（1）（2）中a的取值范圍的關(guān)系，并說明其原因．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件即可得到$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}＞a$在x∈（1，+∞）上恒成立，可設(shè)g（x）=$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$，通過求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)便能夠求得g（x）在（1，+∞）上的最小值為1，從而得出a＜1；
（2）同（1）可得到$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}≤a$在（1，+∞）上有解，并且由（1）知函數(shù)$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$的最小值為1，從而便得出a≥1；
（3）顯然（1）（2）中a的取值范圍的并集為R，并可以看出原因便是：對(duì)任意的a∈R，（1）（2）中必有一個(gè)成立．

解答 解：（1）x∈（1，+∞）時(shí)，由f（x）＞0恒成立得：
$\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}-a（x-1）＞0$恒成立，x-1＞0；
∴$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}＞a$恒成立；
設(shè)$g（x）=\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$，x＞1，g′（x）=$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-6x+5}•（x-1）^{2}}$；
∴1＜x＜2時(shí)，g′（x）＜0，x＞2時(shí)，g′（x）＞0；
∴g（2）=1是g（x）在（1，+∞）上的最小值；
∴1＞a，即a＜1；
實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1）；
（2）同（1）由存在x∈（1，+∞），使f（x）≤0成立可得到：
$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}≤a$在（1，+∞）上成立；
由（1）知函數(shù)$\frac{\sqrt{2{x}^{2}-6x+5}}{x-1}$在（1，+∞）上的最小值為1；
∴1≤a，即a≥1；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）；
（3）通過（1）（2）a的取值范圍看出，這兩個(gè)a的取值范圍的并集為R；
即對(duì)任意的a∈R，（1）（2）中必有一個(gè)成立；
原因?yàn)椋?br />對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)a要么使f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，要么存在x∈（1，+∞），使f（x）≤0成立；
∴對(duì)于任意的a∈R，（1）（2）中必有一個(gè)成立；
∴（1）（2）中a的取值范圍的并集為R．

點(diǎn)評(píng) 考查不等式的性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法與過程，弄清（1）（2）中的“任意的x∈（1，+∞）”和“存在x∈（1，+∞）”各自的含義，并注意正確求導(dǎo)．