【題目】已知長度為的線段的兩個端點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)，且斜率不為零的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在兩個定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點(diǎn)為時，常數(shù)為，當(dāng)定點(diǎn)為時，常數(shù)為

【解析】

（1）設(shè)，，，利用向量關(guān)系坐標(biāo)化，可得曲線的方程；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，將表示成關(guān)于的函數(shù)，利用恒成立問題，可得定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）設(shè)，，，

由于，所以，

即，所以.又因?yàn)?/span>，所以，

從而，即曲線的方程為.

（2）由題意設(shè)直線的方程為，，，

由得，所以，

故，.

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，則

.

當(dāng)，且時，為常數(shù)，解得.

顯然當(dāng)時，常數(shù)為；當(dāng)時，常數(shù)為.

所以存在兩個定點(diǎn)，，使得直線與的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點(diǎn)為時，常數(shù)為，當(dāng)定點(diǎn)為時，常數(shù)為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼得爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖：記圖乙中第行黑圈的個數(shù)為，則（1）_______；（2）______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在如圖所示的幾何體中，是等邊三角形，四邊形是等腰梯形，，，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)D），交PC于N（異于點(diǎn)C）.

（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市對所有高校學(xué)生進(jìn)行普通話水平測試，發(fā)現(xiàn)成績服從正態(tài)分布N（μ，σ2），下表用莖葉圖列舉出來抽樣出的10名學(xué)生的成績．

（1）計算這10名學(xué)生的成績的均值和方差；

（2）給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

由（1）估計從全市隨機(jī)抽取一名學(xué)生的成績在（76，97）的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間的最小值為，試比較與的大小.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)且.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）令在上的最小值為，求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】楊輝三角，是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)了楊輝三角.在歐洲，帕斯卡在1654年也發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，所以這個表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把二項式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.

第0行

1

第1行

1 1

第2行

1 2 1

第3行

1 3 3 1

第4行

1 4 6 4 1

第5行

1 5 10 10 5 1

第6行

1 6 15 20 15 6 1

（1）記楊輝三角的前n行所有數(shù)之和為，求的通項公式；

（2）在楊輝三角中是否存在某一行，且該行中三個相鄰的數(shù)之比為？若存在，試求出是第幾行；若不存在，請說明理由；

（3）已知n，r為正整數(shù)，且.求證：任何四個相鄰的組合數(shù)，，，不能構(gòu)成等差數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，（）.

（1）當(dāng)時，求的表達(dá)式：

（2）求在區(qū)間的最大值的表達(dá)式；

（3）當(dāng)時，若關(guān)于x的方程（a，）恰有10個不同實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案