Question

2．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點(diǎn)與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），則雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，點(diǎn)（-2，-1）在拋物線的準(zhǔn)線上，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，可得p=4，進(jìn)而可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)題意，可得雙曲線的左頂點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得a的值，由點(diǎn)（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，可得漸近線方程，進(jìn)而可得b的值，即可求出雙曲線的方程．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
即點(diǎn)（-2，-1）在拋物線的準(zhǔn)線上，又由拋物線y²=2px的準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，則p=4，
則拋物線的焦點(diǎn)為（2，0）；
則雙曲線的左頂點(diǎn)為（-2，0），即a=2；
點(diǎn)（-2，-1）在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，
由雙曲線的性質(zhì)，可得b=1；
則雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．
故答案為$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線與拋物線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1）”這一條件的運(yùn)用，屬于中檔題．