Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），則S₂₀₁₅=（　�。�

• A． 2²⁰¹⁵-1
• B． 2¹⁰⁰⁹-3
• C． 3×2¹⁰⁰⁷-3
• D． 2¹⁰⁰⁸-3

Answer 1

分析 由已知得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出前2015項(xiàng)的和．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ，∴a₂=2，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n•a_n-1=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}中奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{1007}）}{1-2}$=2¹⁰⁰⁹-3，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的前2015項(xiàng)的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．