Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若當x∈R時，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量的取值范圍進行分類討論求參數(shù)的范圍即可，然后取交集求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）將所給的函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，在每一段上對函數(shù)的最值進行討論，求出最大值，再比較兩段上的最值得到函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）不等式f（x）≥g（x）對x∈R恒成立，即x²-1≥a|x-1|對x∈R恒成立，
①當x=1時，不等式顯然成立，此時a∈R；
②當x≠1時，不等式可變形為a≤$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$，
令φ（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{|x-1|}$=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，（x＞1）}\\{-（x+1），（x＜1）}\end{array}\right.$．
∵當x＞1時，φ（x）＞2，當x＜1時，φ（x）＞-2，
∴φ（x）＞-2，故此時a≤-2．
綜合①②，得所求實數(shù)a的取值范圍是a≤-2．
（2）∵h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a-1，（1≤x≤2）}\\{-{x}^{2}-ax+a+1，（0≤x＜1）}\end{array}\right.$．
當$\frac{a}{2}≥0$，即a≥0時，可知h（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（0）=a+1，h（2）=a+3，經(jīng)比較，此時h（x）在[0，2]上的最大值為a+3．
當-1＜$\frac{a}{2}$＜0，即-2＜a＜0時，可知h（x）在[-$\frac{a}{2}$，1]上遞減，在[0，-$\frac{a}{2}$]，[1，2]上遞增，
且h（-$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+a+1，經(jīng)比較，知此時h（x）在[0，2]上的最大值為a+3．
當$\frac{a}{2}=-1$，即a=-2時，可知h（x）在[0，1]，[1，2]上遞增，h（x）在[0，2]上的最大值為a+3．
當-$\frac{3}{2}$≤$\frac{a}{2}$＜-1，即-3≤a＜-2時，可知h（x）在[1，-$\frac{a}{2}$]上遞減，在[0，1]，[-$\frac{a}{2}$，2]上遞增，
此時h（x）在[0，2]上的最大值為a+3．
當$\frac{a}{2}$＜-$\frac{3}{2}$，即a＜-3時，可知h（x）在[0，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
故此時h（x）在[0，2]上的最大值為h（1）=0．
綜上所述，a≥-3時，h（x）在[0，2]上的最大值為a+3；
當a＜-3時，h（x）在[0，2]上的最大值為0．

點評 本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關系，解題的關鍵是根據(jù)所給的條件及相關知識對問題進行正確轉化，本題比較抽象，對問題的轉化尤其顯得重要，本題在求解問題時用到了分類討論的思想，轉化化歸的思想，數(shù)學綜合題的求解過程中，常用到這兩個思想，繁雜的分類使得該題難度較大．