Question

若函數f（x）是定義域D內的某個區(qū)間I上的增函數，且F（x）=

f(x)

x

在I上是減函數，則稱y=f（x）是I上的“非完美增函數”，已知f（x）=lnx，g（x）=2x+

2

x

+alnx（a∈R）
（1）判斷f（x）在（0，1]上是否是“非完美增函數”；
（2）若g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函數”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,奇偶性與單調性的綜合

專題：導數的綜合應用

分析：（1）依據“非完美增函數”的定義判斷即可；
（2）由題意可得g（x）在[1，+∞）上為增函數，G（x）=

g(x)

x

=2+

2

x2

+

alnx

x

在[1，+∞）上是減函數，利用導數研究函數的單調性，即可求得結論．

解答： 解：（1）由于f（x）=lnx，在（0，1]上是增函數，且F（x）=

f(x)

x

=

lnx

x

，
∵F′（x）=

1-lnx

x2

，∴當x∈（0，1]時，F′（x）＞0，F（x）為增函數，
∴f（x）在（0，1]上不是“非完美增函數”；
（2）∵g（x）=2x+

2

x

+alnx，
∴g′（x）=2-

2

x2

+

a

x

=

2x2+ax-2

x2

，
∵g（x）是[1，+∞）上的“非完美增函數”，
∴g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（1）≥0，∴a≥0，
又G（x）=

g(x)

x

=2+

2

x2

+

alnx

x

在[1，+∞）上是減函數，
∴G′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，即-

4

x3

+

a(1-lnx)

x2

≤0在[1，+∞）恒成立，
即ax-axlnx-4≤0在[1，+∞）恒成立，
令p（x）=ax-axlnx-4，則p′（x）=-alnx≤0恒成立（∵a≥0，x≥1），
∴p（x）=ax-axlnx-4在[1，+∞）上單調遞減，
∴p（x）_max=p（1）=a-4≤0，解得：a≤4；
綜上所述0≤a≤4．

點評：本題以新定義的形式考查函數的單調性，考查運用所學知識分析解決新問題的能力．