Question

（2013•眉山二模）在鈍角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，

m

=(2b-c，cosC)，

n

=(a，cosA)，且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示式列出等式，再由正弦定理和誘導(dǎo)公式化簡整理，可得2sinBcosA=sinB，結(jié)合三角形內(nèi)角的正弦為正數(shù)，得到cosA=

1

2

，從而得到A=

π

3

．
（II）對函數(shù)進(jìn)行降次，再用輔助角公式合并整理，可得y=sin（2B-

π

6

）+1，然后依據(jù)B為鈍角或C為鈍角討論B的范圍，分別得到函數(shù)的值域，最后綜合可得本題的答案．

解答：解：（Ⅰ）由

m

∥

n

得，（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理得 2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0
∴2sinBcosA-sin（A+C）=0，即2sinBcosA-sinB=0，可得2sinBcosA=sinB
∵B∈（0，π），sinB為正數(shù)
∴2cosA=1，得cosA=

1

2

，結(jié)合A∈（0，π），得A=

π

3

…（5分）
（Ⅱ）y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=1-

1

2

cos2B+

3

2

sin2B=sin（2B-

π

6

）+1…（7分）
①當(dāng)角B為鈍角時，可得B∈（

π

2

，

2π

3

），2B-

π

6

∈（

5π

6

，

7π

6

）
∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

），得y∈（

1

2

，

3

2

）…（10分）
②當(dāng)角B為銳角時，角C為鈍角，即C=

2π

3

-B∈（

π

2

，π），所以B∈（0，

π

6

）
∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

π

6

），sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，

1

2

），得y∈（

1

2

，

3

2

）…（13分）
綜上所以，函數(shù)y=2sin2B+cos（

π

3

-2B）的值域為（

1

2

，

3

2

）…（14分）

點評：本題以平面向量平行為載體，求三角形的內(nèi)角A并求關(guān)于角B的三角函數(shù)式的值域，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算、三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用和解三角形等知識，屬于中檔題．