Question

8．設(shè)F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足∠F₁PF₂=120°，則△F₁PF₂的面積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），由余弦定理可得 PF₁•PF₂，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°，求得△F₁PF₂的面積即為所求

解答 解：由題意可得雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{5}$，0），
又F₁F₂²=20，|PF₁-PF₂|=4，
由余弦定理可得：
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos120°=（PF₁-PF₂）²+3PF₁•PF₂=16+3PF₁•PF₂=20，
∴PF₁•PF₂=$\frac{4}{3}$
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin120°=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，余弦定理，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，求出PF₁•PF₂的值，是解題的關(guān)鍵