Question

10．某同學用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內的圖象時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：

x	x1	$\frac{1}{3}$	x2	$\frac{7}{3}$	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）+B	0	$\sqrt{3}$	0	-$\sqrt{3}$	0

（Ⅰ）請求出上表中的x_l，x₂，x₃，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式．
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x釉向右平移$\frac{2}{3}$個單位得到函數(shù)g（x），若函數(shù)g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域為[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，且此時其圖象的最高點和最低點分別為P，Q，求$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{QP}$夾角θ的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用五點法作圖，求得ω、φ的值，再結合表格中的數(shù)據(jù)可得函數(shù)f（x）的解析式，從而求得表中的x_l，x₂，x₃．
（Ⅱ）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，可得P、Q的坐標，再利用兩個向量的數(shù)量積的定義、兩個向量的數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{QP}$夾角θ的大�。�

解答 解：（Ⅰ）由題意可得ω•$\frac{1}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{7}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，∴ω=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{π}{3}$，再結合表格中的數(shù)據(jù)，
可得函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
再根據(jù)$\frac{π}{2}$x₁+$\frac{π}{3}$=0，$\frac{π}{2}$x₂+$\frac{π}{3}$=π，$\frac{π}{2}$x₃+$\frac{π}{3}$=2π，求得x_l =-$\frac{2}{3}$，x₂ =$\frac{4}{3}$，x₃，=$\frac{10}{3}$；
（Ⅱ）將f（x）的圖象沿x釉向右平移$\frac{2}{3}$個單位得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{3}$sin[$\frac{π}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x的圖象，
若函數(shù)g（x）在x∈[0，m]（其中m∈（2，4））上的值域為[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
且此時其圖象的最高點和最低點分別為P（1，$\sqrt{3}$）、Q（3，-$\sqrt{3}$），∴$\overrightarrow{OQ}$=（3，-$\sqrt{3}$）、$\overrightarrow{QP}$=（-2，2$\sqrt{3}$）．
設$\overrightarrow{OQ}$與$\overrightarrow{QP}$夾角θ的大小為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{QP}}{|\overrightarrow{OQ}|•|\overrightarrow{QP}|}$=$\frac{-6-6}{\sqrt{12}•\sqrt{4+12}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查五點法作圖，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于中檔題．