Question

2．在平面直角坐標系中，橢圓C：$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點到焦點的距離為2，橢圓上的點到焦點的最遠距離為2+$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓的方程．
（2）設(shè)P（M，0）是橢圓C長軸上的一個動點，過點P作斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點．
（�。┊攌=1時，|AB|=$\frac{8}{5}$$\sqrt{2}$，求M的值；
（ⅱ）若PA²+PB²的值與點P的位置無關(guān)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)可知a=2，$a+c=2+\sqrt{3}$，則c可求，再由隱含條件求得b，則橢圓C的方程可求；
（2）由（1）可得，橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．設(shè)點P（m，0）（-2≤m≤2），點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）．
（ⅰ）k=1時直線l的方程為y=x-m．聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，利用弦長公式求得m的值；
（ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）．將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂=$\frac{8m{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4（{k}^{2}{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．代入PA²+PB²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²整理，由PA²+PB²的值與點P的位置無關(guān)，即有-8k⁴-6k²+2=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由題設(shè)可知a=2，$a+c=2+\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$，故b=1．
因此，a=2，b=1．
橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）可得，橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
設(shè)點P（m，0）（-2≤m≤2），點A（x₁，y₁），點B（x₂，y₂）．
（�。┤鬹=1，則直線l的方程為y=x-m．
聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，即$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$．
將y消去，化簡得 $\frac{5}{4}$x²-2mx+m²-1=0．
∴x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}$，
而y₁=x₁-m，y₂=x₂-m，
因此，|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2}$•$\sqrt{5-{m}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，
∴m=±1；
（ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x-m）．將直線l與橢圓C的方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
將y消去并化簡得（1+4k²）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8m{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4（{k}^{2}{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∴PA²+PB²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=$\frac{3}{4}$（x₁²+x₂²）-2m（x₁+x₂）+2m²+2
=$\frac{{m}^{2}（-8{k}^{4}-6{k}^{2}+2）+（1+4{k}^{2}）（8{k}^{2}+8）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$  （*）．
∵PA²+PB²的值與點P的位置無關(guān)，即（*）式取值與m無關(guān)，
∴有-8k⁴-6k²+2=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．
∴k的值為±$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應用，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是壓軸題．